Jan 16, 2023

MACMO 2023

共有12题，其中题1-5题为填空题，6-12为证明题。1-7题每题10分，8-12题每题20分.

$\textbf{Problem 1. }$ 求$\tan 15^{\circ}$的值.

$Solution. $ 由正切函数的二倍角公式可得$\tan 30^{\circ} = \dfrac{2 \tan 15^{\circ}}{1-\tan ^2 15^{\circ}}$，

解得$\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.

$\textbf{Problem 2. }$ 已知$xy \neq1$，$yz \neq1$，$zx \neq1$，$xyz \neq1$，求 $$\dfrac{1}{\log_{xy}{xyz}}+\dfrac{1}{\log_{yz}{xyz}}+\dfrac{1}{\log_{zx}{xyz}}.$$

$Solution.$ 由对数的性质可知 $$\dfrac{1}{\log_{xy}{xyz}}=\log_{xyz}{xy},\ \dfrac{1}{\log_{yz}{xyz}}=\log_{xyz}{yz},\ \dfrac{1}{\log_{zx}{xyz}}=\log_{xyz}{zx}$$ 则题目可转化为求$\log_{xyz}{xy}+\log_{xyz}{yz}+\log_{xyz}{zx}$的值，即$\log_{xyz}{xyz}^2$，易知答案为2.

$\textbf{Problem 3. }$ 已知$\tan^{-1}x+\tan^{-1}y+\tan^{-1}z = \pi$，求$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$的值.

$Solution.$ $\tan^{-1}x+\tan^{-1}y+\tan^{-1}z = \pi \Rightarrow \tan^{-1}y+\tan^{-1}z = \pi-\tan^{-1}x $

$\Rightarrow \tan \left( \tan^{-1}y+\tan^{-1}z\right) = \tan \left( \pi-\tan^{-1}x\right) \Rightarrow \dfrac{y+z}{1-yz} = \dfrac{0-x}{1+0}\ $

$\Rightarrow x+y+z=xyz\Rightarrow \dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1$，故答案为1。

$\textbf{Problem 4. }$

$Solution.$

$\textbf{Problem 5. }$ 已知$a,\ b,\ c \in R^+$，求$\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}$的最小值.

$Solution.$ 由$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$ 可得 $2a^4bc+2ab^4c+2abc^4 \geq 6a^2b^2c^2$

$\Rightarrow \sum_{cyc}\left( 4b^3c^3 + 2ab^4c + 2abc^4 + a^2b^2c^2 \right) \geq $$$$2a^4bc+2ab^4c+2abc^4+4\left(ab\right)^3+4\left(bc\right)^3+4\left(ca\right)^3+9\left(abc \right)^3$$

$\Rightarrow \sum_{cyc} \left[bc\left(2b^2+ca\right)\left(2a^2+bc\right)\right] \geq \left(2a^2+bc\right)\left(2b^2+ca\right)\left(2c^2+ab\right)$

$\Rightarrow \dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab} \geq 1$，故答案为1.

$\textbf{Problem 6. }$ 已知凸四边形$ABCD$，求证

$$max(AB+CD,\ AD+BC) < AC+BD < AB+BC+CD+DA.$$