最小值与两点距离

已知：$x+y=12$，求$\sqrt{{x}^2+4}+\sqrt{{y}^2+9}$ 的最小值.

这里使用一种比较特殊的解法：解析几何中的两点距离公式.

将$y=12-x$ 代入 $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{y^2+9}$，得： $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{\left(x-12\right)^2+9}$.

配成两点距离公式：$\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(0-2\right)^2}+\sqrt{\left(x-12\right)^2+\left(0-3\right)^2}$.

进行数形结合易知上式是点$(x,\ 0)$到点$(0,\ 2)$和点$(12,\ 3)$的距离之和.

作点$(12,\ 3)$的对称点$(12,\ -3)$，不难发现，当$(x,\ 0)$位于点$(0,\ 2)$和对称点$(12,\ -3)$的连线上时，距离之和最小 （图片）.

故其距离之和最小值为点$(0,\ 2)$和点$(12,\ -3)$的距离，即13.

等号成立条件为$x=\dfrac{24}{5},\ y=\dfrac{36}{5}$.